Una tasa es una razón que compara dos cantidades con unidades distintas.
Ejemplo 1. Enrique está en un road trip con sus amigos. EL primer dia viajaron 360 millas en 6 horas. La razón de millas por hora es una tasa: $$ 360 \text{ millas} : 6 \text{ horas} $$
Ejemplo 2. Si Enrique manejó 4 horas ese día y su co-piloto manejó 2 horas, podemos definir la razón de horas que manejó Enrique a las horas que manejó su co-piloto: $$ 6 \text{ horas} : 2 \text{ horas} $$ Sin embargo, esto no es una tasa porque las unidades de ambas cantidades son horas.
Ejercicio.
Miguel recibió una caja con frutas frescas. La tabla de abajo tiene la cantidad de cada tipo de fruta. Determina las siguientes tasas.
Fruta
Cantidad
Papaya
5
Guineo
12
Melón
3
Piña
4
La tasa de papayas a melones Como hay 5 papayas y 3 melones, la tasa es: $$ \frac{ 5 \text{ papayas}}{ 3 \text{ melones}} $$
La tasa de guineos a papayas Como hay 12 guineos y 5 papayas, la tasa es: $$ \frac{ 12 \text{ guineos}}{ 5 \text{ papayas}} $$
La tasa de guineos a piñas Como hay 12 guineos y 4 piñas, la tasa es: $$ \frac{ 12 \text{ guineos}}{ 4 \text{ piñas}} = \frac{ 12 \div 4 \text{ guineos}}{ 4 \div 4 \text{ piñas}} = \frac{ 3 \text{ guineos}}{ 1 \text{ piña}} $$
¿Qué es una tasa unitaria?
Una tasa unitaria es una tasa que la segunda cantidad es 1. Para encontrar la tasa unitaria, solo hay que dividir el primer número de la tasa por el segundo.
Ejemplo 1. Un jugador anota 48 puntos en 8 juegos. La tasa unitaria de puntos por juego es: $$ \frac{48 \text{ puntos}}{8 \text{ juegos}} = 48 \div 8 \text{ puntos por juego} = 6 \text{ puntos por juego} $$
Ejemplo 2. Un atleta corre 5 millas en 48 minutos. La tasa unitaria de millas por minuto es: $$ \frac{5 \text{ millas}}{48 \text{ minutos}} = 5 \div 48 \text{ millas por minuto} = 0.1 \text{ millas por minuto} $$
Ejercicio.
Usa la definición de tasa unitaria para responder las siguientes preguntas.
En una fiesta, el anfitrión preparó 30 tazas de ponche para los 12 invitados en su hogar. Encuentra la tasa de tazas de ponche por invitado. La tasa unitaria de tazas de ponche por invitado es: $$ \begin{align*} &\phantom{=} \frac{30 \text{ tazas de ponche}}{12 \text{ invitados}} \cr &= 30 \div 12 \text{ tazas de ponche por invitado} \\ &= 2.5 \text{ tazas de ponche por invitado} \end{align*} $$
Se pagó $35 por 5 boletos. Encuentra la tasa unitaria de precio por boleto. La tasa unitaria de precio por boleto es $$ \frac{35 \text{ dólares}}{5 \text{ boletos}} = 35 \div 5 \text{ dólares por boleto} = 7 \text{ dólares por boleto} $$
¿Cómo se usan las tasa unitaria?
Al igual que las razones, podemos usar tasas unitarias para encontrar un desconocido. Si tenemos una tasa unitaria y una cantidad, podemos formar una proporción y encontrar la desconocida.
Ejemplo 1. Adolfo le está hechando abono a sus plantas. El abono que está usando requiere usar 4 cucharadas de abono por tiesto. Si Adolfo tiene 28 tiestos, ¿cuánto abono necesita medir?
Nos dan la tasa de cucharadas de abono por tiesto: $$ \frac{4 \text{ cucharadas}}{1 \text{ tiesto}} $$
Tambien nos dan la cantidad de tiestos, pero desconocemos la cantidad de abono que corresponde. Si llamamos x a la desconocida, podemos definir esta segunda razón de abono a tiestos: $$ \frac{x \text{ cucharadas}}{28 \text{ tiestos}} $$
Como la razón de abono a tiestos debe ser la misma, podemos definir la siguiente proporción: $$ \frac{4 \text{ cucharadas}}{1 \text{ tiesto}} = \frac{x \text{ cucharadas}}{28 \text{ tiestos}} $$
Encontes, podemos despejar por x para encontrar la desconocida: $$ \begin{align*} \frac{4}{1} &= \frac{x}{28} \cr 4 \cdot 28 &= 1 \cdot x \cr 112 &= x \end{align*} $$
Por lo tanto, Adolfo necesita 112 cucharadas para sus 28 tiestos.
Usa las tasas unitarias y las proporciones para completar el siguiente ejercicio.
Ejercicio.
Augustina está jugando el videojuego de un puercoespín azul. Cada nivel en el juego le toma aproximadamente 45 minutos. ¿Cuál es la tasa unitaria de minutos por nivel? ¿Cuánto le tomará completar 5 niveles? La tasa unitaria de minutos por nivel es: $$ \frac{45 \text{ minutos}}{1 \text{ nivel}} $$ La otra razón es el tiempo que le toma en completar 5 niveles, que es una desconocida, a 5 niveles: $$ \frac{x \text{ minutos}}{5 \text{ niveles}} $$ Usamos esta proporción: $$ \frac{45 \text{ minutos}}{1 \text{ nivel}} = \frac{x \text{ minutos}}{5 \text{ niveles}} $$ Para entontrar la descononida, tenemos que multiplicar cruzado y despejar por x: $$ \begin{align*} \frac{45}{1} &= \frac{x}{5} \cr 45 \cdot 5 &= 1 \cdot 5 \cr 225 &= x \end{align*} $$ Por lo tanto, le tomará 225 minutos a Augustina completar 5 niveles.
Fernando está pintando el interior de su casa. Usó 2 galones de pintura para cubrir los 500 pies cuadrados de las paredes de un cuarto. El interior de la casa de Fernando es 2500 pies cuadrados. Busca la tasa unitaria de pies cuadrados por galón de pintura. ¿Cuántos galones de pintura necesitará para pintar todo el interior de su casa? La razón de pies cuadrados por galón de pintura es: $$ \frac{500 \text{ pies cuadrados}}{2 \text{ galones}} $$ Dividimos para encontrar la tasa unitaria: $$ 500 \div 2 \text{ pies cuadrados por galón} $$ $$ 250 \text{ pies cuadrados por galón} $$ Ahora, queremos encontrar la cantidad de pintura que se necesita para cubrir 2500 pies cuadrados. Usamos esta proporción: $$ \frac{250 \text{ pies cuadrados}}{1 \text{ galón}} = \frac{2500 \text{ pies cuadrados}}{x \text{ galón}} $$ Para encontrar la desconocida, multiplicamos cruzado: $$ \begin{align*} \frac{250}{1} &= \frac{2500}{x} \cr 250 \cdot x &= 2500 \cdot 1 \cr 250x &= 2500 \cr \frac{250x}{250} &= \frac{2500}{250} \cr x &= 10 \end{align*} $$ Por lo tanto, Fernando necesita 10 galones de pintura para cubrir el interior de su casa.