Una proporción se puede representar como una ecuación y nos dice que dos razones son iguales.
Por ejemplo, la razón 5:10 es proporcional a 1:2.
Por lo tanto, podemos escribir: $$ \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $$
Para verificar que estas dos razones sí forman una proporción, podemos multiplicar cruzado. Si llegamos a una ecuación que es cierta, entonces sí es proporción. Si llegamos a una ecuación falsa, entonces no es proporción. $$ \frac{\textcolor{#729170}{5}}{\textcolor{#DA8359}{10}} = \frac{\textcolor{#DA8359}{1}}{\textcolor{#729170}{2}} $$ $$ \textcolor{#729170}{5 \cdot 2} = \textcolor{#DA8359}{1 \cdot 10} $$ $$ \textcolor{#729170}{10} = \textcolor{#DA8359}{10} $$ Como la multiplicación cruzada nos lleva a una ecuación cierta, la razón 5:10 sí es proporcional a 1:2.
Otra forma de verificar que las razones son propocionales, es simplificando ambas. En este caso, la razón 1:2 ya está simplificada. La otra razón se simplifica dividiendo ambos números por 5: $$ \frac{5}{10} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2} $$ Como ambas razones simplifican a 1:2, entonces son proprcionales.
Ejemplo 1. ¿La razón 3:4 es equivalente a la razón 12:16?
Esta equivalencia se puede escribir como una ecuación: $$ \frac{3}{4} = \frac{12}{16} $$
Podemos verificar si esta proporción es cierta multiplicando cruzado: $$ \frac{3}{4} \overset{?}{=} \frac{12}{16} $$ $$ 3 \cdot 16 \overset{?}{=} 4 \cdot 12 $$ $$ 48 = 48 $$
Como llegamos a una ecuación verdadera, entonces las razones 3:4 y 12:16 son proporcionales.
Ejemplo 2. Juan Ramón corrió 3 millas en 35 minutos. El amigo de Juan Ramón corrió 2 millas en 20 minutos. Define la razón de millas a minutos para ambos. Juan Ramón y su amigo corrieron a las misma velocidad?
Velocidad de Juan Ramón: $$ \frac{3 \text{ millas}}{35 \text{ minutos}} $$
Velocidad de su amigo: $$ \frac{2 \text{ millas}}{20 \text{ minutos}} $$
Definimos una proporción con estas dos razones y multiplicamos cruzado: $$ \frac{3}{35} \overset{?}{=} \frac{2}{20} $$ $$ 3 \cdot 20 \overset{?}{=} 2 \cdot 35 $$ $$ 60 \not = 70 $$
Como llegamos a una ecuación falsa, entonces las velocidades de Juan Ramón y su amigo no son equivalentes.
Usa la multiplicación cruzada o la simplificación para hacer el siguiente ejercicio.
Determina si cada par de razones forman una proporción.
Podemos usar las proporciones para encontrar un desconocido.
Ejemplo 1. Juan Bobo está siguiendo una receta para preparar una merienda. La receta pide los siguientes ingredientes:
| Ingrediente | Cantidad |
|---|---|
| nueces | 4 tazas |
| maní | 3 tazas |
| chocoloates | 1 taza |
| pasas | 2 tazas |
Si Juan Bobo tiene 6 tazas de maní, ¿cuántas tazas de pasa necesitará?
Para contestar esta pregunta, tenemos que (1ro) definir la razón de maní a pasas en la receta, y (2do) construir una segunda razón que sea proporcional a la razón de maní a pasas y que tenga 6 tazas de maní.
Paso 1. Encontrar la razón de maní a pasas en la receta.
La receta pide 3 tazas de maní y 2 tazas de pasas. Entonces la razón de maní a pasas es $$ \frac{3 \text{ tazas de maní}}{2 \text{ tazas de pasas}} $$
Paso 2. Construir una segunda razón que sea proporcional a la razón de maní a pasas y que tenga 6 tazas de maní.
En esta segunda razón, tenemos 6 tazas de de maní y un número desconocido de tazas de pasas, que podemos representar con la variable p. Entonces la razón será: $$ \frac{6 \text{ tazas de maní}}{p \text{ tazas de pasas}} $$
Para que las dos razones sean proporcionales, estas dos fracciones deben ser equivalentes. Por lo tanto, podemos definir la siguiente ecuación: $$ \frac{3}{2} = \frac{6}{p} $$
Entonces, para encontrar la desconocida, podemos multiplicar cruzado y despejar por p. $$ 3 p = 2 \cdot 6 $$ $$ 3 p = 12 $$ $$ \frac{3 p}{3} = \frac{12}{3} $$ $$ p = 4 $$
Asi que Juan Bobo necesita 4 tazas de pasas.
Ejemplo 2. En el caso de que Juan Bobo tiene 3 tazas de nueces, ¿cuántas tazas de pasa necesitará?
Repetimos los mismos pasos usando la misma receta:
| Ingrediente | Cantidad |
|---|---|
| nueces | 4 tazas |
| maní | 3 tazas |
| chocoloates | 1 taza |
| pasas | 2 tazas |
Paso 1. Encontrar la razón de nueces a pasa en la receta.
Como la receta pide 4 tazas de nueces y 2 tazas de pasas, la razón es 4:2 y se puede simplificar de la siguiente manera: $$ \frac{4}{2} = \frac{4 \div 2}{2 \div 2} = \frac{2}{1} $$
Paso 2. Construir una segunda razón que sea proporcional a la razón de nueces a pasas y que tenga 3 tazas de nueces.
Para la otra razón, tenemos 3 tazas de nueces y un número desconocido de tazas de pasas (p). Entonces, la segunda razón es: $$ \frac{3}{p} $$
Para que las razones sean equivalentes, definimos la siguiente ecuación: $$ \frac{2}{1} = \frac{3}{p} $$
Entonces, para encontrar la desconocida, podemos multiplicar cruzado y despejar por p. $$ 2 p = 1 \cdot 3 $$ $$ 2 p = 3 $$ $$ \frac{2 p}{2} = \frac{3}{2} $$ $$ p = 1.5 $$
Por lo tanto, Juan Bobo necesitaría 1 taza y media de pasas.
Usa las proporciones para resolver los siguientes ejecicios.