Recordamos que un conjunto es una colección de elementos.
Es costumbre nombrar conjuntos con una letra mayúscula y se pueden representar como una lista de sus elementos entre corchetes.
$$ X = \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... \} $$Otra forma de representar un conjunto es:
$$ X = \{ x \quad | \quad x \text{ es par } \} $$Cuando un número es parte de un conjunto decimos que pertenece al conjunto y se escribe:
$$ 24 \in X $$Cuando un número no es parte del conjunto, entonces no pertence y se escribe:
$$ 1 \notin X $$Recordamos también lo que es un subconjunto. Si todos los elementos de un conjunto \( A \) también están en un conjunto \( B \), entonces decimos que \( A \) es un subconjunto de \( B \). $$ A \subset B $$
Podemos definir varios conjuntos de números reales.
Los números naturales son los número que usamos para contar. Se representan con la letra \( \mathbb{N} \).
$$ \mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, ... \} $$Ejemplo. Determina si los siguientes números pertenecen a los números naturales.
$$ 3,\, \frac{1}{2},\, 55.5,\, 100000 $$El número 3 se puede usar para contar, asi que pertenece a \( \mathbb{N} \).
$$ 3 \in \mathbb{N} $$La fracción \( \frac{1}{2} \) no se puede usar para contar, asi que no pertenece a \( \mathbb{N} \).
$$ \frac{1}{2} \notin \mathbb{N} $$El número 55.5 no se puede usar para contar, asi que no pertenece a \( \mathbb{N} \).
$$ 55.5 \notin \mathbb{N} $$El número 100000 se puede usar para contar, asi que pertenece a \( \mathbb{N} \).
$$ 100000 \in \mathbb{N} $$Los números cardinales son todos los número naturales más el número 0. Se representan con la letra \( \mathbb{N} \) con 0 como un subscrito.
$$ \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... \} $$Ejemplo. Determina si los siguientes números estan en \( \mathbb{N}_0 \) o nó.
Como \( \mathbb{N}_0 \) incluye todos los números naturales, entonces \( \mathbb{N} \) es subconjunto de \( \mathbb{N}_0 \).
$$ \mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 $$Los números enteros consisten en el 0, todos los numeros naturales, y sus opuestos. Se representan con la letra \( \mathbb{Z} \).
$$ \mathbb{Z} = \{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \} $$Ejemplo. Determina si los siguientes números estan en \( \mathbb{Z} \) o nó.
Como \( \mathbb{Z} \) incluye todos los números cardinales, entonces \( \mathbb{N}_0 \) es subconjunto de \( \mathbb{Z} \).
$$ \mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} $$El conjunto de números racionales contiene todos los números que se pueden expresar como una razón de dos enteros (o sea, como una fracción). Se representan con una \( \mathbb{Q} \).
$$ \mathbb{Q} = \left\{ q \quad | \quad q = \frac{a}{b} \right\} $$Ejemplo. Determina si los siguientes números estan en \( \mathbb{Q} \) o nó.
Nota que cualquier numero entero se puede expresar como una fracción con denominador 1. Por ejemplo, el número entero 15 se puede escribir como \(\frac{15}{1} \). O el número entero -4; que se puede expresar como \( -\frac{4}{1} \).
Como cualquier elemento de \( \mathbb{Z} \) también está en \( \mathbb{Q} \), entonces los enteros es un subconjunto de los racionales.
$$ \mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} $$Los número irracionales, al contrario de los racionales, son los números que no se pueden expresar como una razón de dos enteros. Y se representan con una \( \mathbb{I} \).
$$ \mathbb{I} = \left\{ x \quad | \quad x \neq \frac{a}{b} \right\} $$Ejemplo. Determina si los siguientes números estan en \( \mathbb{I} \) o nó.
Nota que los conjuntos \( \mathbb{I} \) y \( \mathbb{Q} \) no pueden compartir ningún elemento. O sea, que
Los número reales consisten en todos los números racionales y los irracionales. Y se representan con una \( \mathbb{R} \).
$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup\mathbb{I} $$Una forma común de representar el conjunto \( \mathbb{R} \) es la recta numérica.
Podemos representar a \( \mathbb{R} \) y sus subconjuntos de la siguiente manera:
La Propiedad de la Clausura dice que la suma de cualquiera dos números reales también será un número real.
O sea, si escogemos dos números reales al azar y los sumamos, esta suma también será un número real.
$$ a,b \in \mathbb{R} \qquad \Rightarrow \qquad a+b \in \mathbb{R} $$Ejemplo. Vamos a estudiar la siguiente suma: \( -\frac{4}{5} + \frac{15}{5} \).
Los números 4 y 18 son reales. $$ -\frac{4}{5}, \; \frac{15}{5} \in \mathbb{R} $$ Su suma, \( -\frac{4}{5} + \frac{15}{5} = \frac{-4 + 15}{5} = \frac{11}{5} \), también es un número real. $$ -\frac{4}{5} + \frac{15}{5} \in \mathbb{R} $$
La Propiedad Conmutativa nos dice que no importa el orden en que sumamos dos números reales.
$$ a,b \in \mathbb{R} \qquad \Rightarrow \qquad a+b = b+a $$Ejemplo. Vamos a estudiar la suma: \( 5.55 + 3.8 \).
Los dos números que estamos sumando son números reales. $$ 5.55, \; 3.8 \in \mathbb{R} $$
Podemos encontrar su suma: \( 5.55 + 3.8 = 9.35 \). Ahora encontramos la suma \( 3.8 + 5.55 = 9.35 \). Entonces $$ 5.55 + 3.8 = 3.8 + 5.55 = 9.35 $$
La Propiedad Asociativa dice que si estamos sumando más de dos números reales, no importa el orden en que sumamos.
$$ a,b,c \in \mathbb{R} \qquad \Rightarrow \qquad (a+b)+c = a+(b+c) $$Ejemplo. Supón que queremos sumar \( 3 + 4.5 + 13.5 \).
Segun la propiedad asociativa, podemos sumar \( (3 + 4.5) + 13.5 \) o podemos sumar \( 3 + (4.5 + 13.5) \). Para comprobarlo, vamos a calcular ambas expresiones. Por un lado, tenemos:
$$ (3 + 4.5) + 13.5 = 7.5 + 13.5 = 21 $$Por otro lado, tenemos:
$$ 3 + (4.5 + 13.5) = 3 + 18 = 21 $$ Entonces, $$ (3 + 4.5) + 13.5 = 3 + (4.5 + 13.5) = 21 $$La Identidad Aditiva es el 0 porque si sumamos cualquier número real y 0, la suma será el otro número.
$$ a \in \mathbb{R} \qquad \Rightarrow \qquad a + 0 = 0 + a = a $$Ejemplo. Tenemos los siguientes números reales: $$ 3, \frac{6}{13}, -9.99 $$
Dos números reales son opuestos si están a la misma distancia del 0 en la recta numérica. El opuesto de un número real \(a\) es \(-a\).
Visto de otra manera, podemos decir que dos números reales son opuestos si su suma es la identidad.
$$ a \in \mathbb{R} \qquad \Rightarrow \qquad a + (-a) = (-a) + a = 0 $$Ejemplo. Tenemos los siguientes números reales: $$ -4, \; \frac{3}{17}, \; 3.14 \in \mathbb{R} $$
Vamos a encontrar sus opuestos.
Como \( -4 + 4 = 0 \), entonces 4 es el opuesto de -4.
Como \( \frac{3}{17} + \left(-\frac{3}{17}\right) = 0 \), entonces \(-\frac{3}{17}\) es el opuesto de \(\frac{3}{17}\).
Como \( 3.14 + (-3.14) = 0 \), entonces -3.14 es el opuesto de 3.14.
La Propiedad de la Clausura nos dice que el producto de dos números reales es también un número real.
Dicho de otra manera, la Propiedad de la Clausura nos dice que si multiplicamos dos números reales, el resultado también será un número real.
$$ a, b \in \mathbb{R} \qquad \Rightarrow \qquad a\cdot b \in \mathbb{R} $$Ejemplo. Podemos escoger los siguientes dos números reales: $$ -28, \; \frac{2}{7} \in \mathbb{R} $$
Su producto es $$ -28 \cdot \frac{2}{7} = \frac{-28}{1} \cdot \frac{2}{7} = \frac{-28 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{-4 \cdot \cancel{7} \cdot 2}{1 \cdot \cancel{7}} = \frac{-4 \cdot 2}{1} = -8, $$ que también es un número real. Entonces, el producto de los números originales está en \( \mathbb{R} \)
$$ -28 \cdot \frac{2}{7} \in \mathbb{R} $$La Propiedad Conmutativa nos dice que no importa el orden en que multiplicamos dos números reales.
$$ a,b \in \mathbb{R} \qquad \Rightarrow \qquad a \cdot b = b \cdot a $$Ejemplo. Si queremos multiplicar \( \frac{2}{3} \) y \( \frac{5}{4} \), la propiedad comnumtativa nos dice que no importa el orden de los factores. O sea, que $$ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{3} $$
Vamos a simplificar cada lado a ver si nos da lo mismo. Empezando por el lado izquierdo, tenemos:
$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6} $$Por el otro lado, tenemos:
$$ \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6} $$Entonces, confirmamos que:
$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{6} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{3} $$La Propiedad Asociativa dice que si estamos multiplicando más de dos números reales, no importa el orden en que multiplicamos.
$$ a,b,c \in \mathbb{R} \qquad \Rightarrow \qquad (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c) $$Ejemplo. Vamos a multiplicar estos tres números reales: $$ 4, \; 2.5, \; 2.75 \in \mathbb{R} $$
La propiedad asociativa, nos dice que no importa el orden en que los multipliquemos. O sea, que: $$ 4 \cdot (2.5 \cdot 2.75) = (4 \cdot 2.5) \cdot 2.75 $$
Para verificarlo, vamos a hacer los cálculos de la izquierda y la derecha por separados. Empezamos por la izquierda: $$ 4 \cdot (2.5 \cdot 2.75) = 4 \cdot 6.875 = 27.5 $$
Ahora la derecha: $$ (4 \cdot 2.5) \cdot 2.75 = 10 \cdot 2.75 = 27.5 $$
Entonces, verificamos que ambos lados sí son iguales: $$ 4 \cdot (2.5 \cdot 2.75) = 27.5 = (4 \cdot 2.5) \cdot 2.75 $$
La Identidad Mutliplicativa es el 1 porque si multiplicamos cualquier número real y 1, el resultado será el otro número.
$$ a \in \mathbb{R} \qquad \Rightarrow \qquad a \cdot 1 = 1 \cdot a = a $$Ejemplo. No importa qué número se multiplica por \(1\), el producto siempre es el otro número.
El recíproco de un número \( n \) es el número que se tiene que multiplicar por \( n \) para que nos de 1.
Un número es recíproco de otro si al multiplicarlos nos da 1.
El recíproco de \( n \) es \( \frac{1}{n} \).
$$ n \cdot \frac{1}{n} = 1 $$Ejemplo. Para encontrar el recíproco de un número, tenemos que cambiar el numerador por el denominador. Si queremos encontrar el recíproco de 4, podemos expresar 4 como una fraccion: \( \frac{4}{1} \). Enconces, su recíproco es \( \frac{1}{4} \). Podemos verificar que son recíprocos multiplicándolos.
$$ \begin{align*} 4 \cdot \frac{1}{4} &= \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{4} &\\ \\ &= \frac{4 \cdot 1}{1 \cdot 4} \\ &\\ &= \frac{4}{4} \\ & \\ &= 1 \end{align*} $$ Como \( 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 \), podemos decir que \( 4 \) y \( \frac{1}{4} \) son recíprocos.El axioma distributivo nos dice que el producto de un número y una suma se puede escribir como la suma de productos.
$$a,b,c \in \mathbb{R} \Rightarrow a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $$Hay dos formas de usar esta axioma. Veamos la primera.
Ejemplo. Supón que tenemos el producto de un número y una suma con dos términos.
$$ 3(x + 5) $$Según el axioma, podemos expresar la expresión como la suma de cada término (la \(x\) y el \(5\)) multiplicado por el número de afuera (el \(3\)). Dicho de otra manera, podemos "distribuir" el número de afuera.
Entonces, la expresión original es equivalente a:
$$ 3 \cdot x + 3 \cdot 5 $$Que se simplifica a:
$$ 3x + 15 $$Veamos ahora la segunda forma de usar el axioma distributivo.
Ejemplo. Supón que tenenos la suma de dos términos con un factor en común.
$$ 4xy + 3yz $$Nota que no son términos semajantes, por lo que no se pueden combinar. Pero sí tienen \( y \) como factor común.
$$ 4x{\textcolor{#729170} y} + 3{\textcolor{#729170} y}z $$Entonces, se puede "factorizar" usando el axioma en la dirección opuesta.
$$ {\textcolor{#729170} y} \cdot 4x + {\textcolor{#729170} y} \cdot 3z $$Como tenemos una expresión parecida a la del lado derecho, se puede sustituir por una parecida a la del lado izquierdo.
$$ {\textcolor{#729170} y} \cdot (4x + 3z) $$