Una espresión algebraica es una combinación de números, variables, y símbolos operacionales. $$ +, -, \times, \div $$ Al igual que las expresiones númericas, las expresiones algebraicas también puede tener paréntesis y exponentes.
Ejemplo 1. Esta expresión consiste de una sola variable y su coeficiente. $$ 4x $$
Ejemplo 2. Esta expresión consiste de variables y constantes. $$ x + y \div 2 - z + 15 $$
Ejemplo 3. Esta expresión consiste de varias variables y sus coeficientes. $$ 4\cdot a - \frac{3}{4} \cdot b + 16 \cdot z$$
Ejemplo 4. Esta expresión contiene variables, sus coeficientes, exponentes, y constantes. $$ 3x^2 + 15x - 30 $$
Ejemplo 5. Esta expresión contiene variables, constantes, paréntesis, y exponentes. $$ (35 \div n) + (2 - m)^3 $$
Las expresiones matemáticas se pueden dividir en términos. Un término es la multiplicación o división de dos o más variables ó constantes.
Ejemplo 1. Un término puede consistir de una variable y su coeficiente. $$ 3x, \qquad 15y, \qquad \frac{1}{2}z $$
Ejemplo 2. Un término puede consistir solo de una variable o una constante. $$ x, \qquad 48, \qquad 37.7 $$
Ejemplo 3. Un término puede consistir de varias constantes y variables. $$ 77xy^2z, \qquad 5\cdot y^3, \qquad \frac{33y}{4xz} $$
Podemos separar una expresión en sus términos.
Ejemplo 1. Encuentra los términos de la siguiente expresión. $$ 3x^2 + 8x - 25 $$
Para separar una expresión en sus términos, tenemos que picar la expresión donde tenga una suma o resta. En este caso hay una de cada una. $$ 3x^2 \textcolor{#DA8359}{+} 8x \textcolor{#DA8359}{-} 25 $$
Antes de dar la respuesta final, vamos a re-escribir la expresión para que todo sea suma: $$ 3x^2 \textcolor{#DA8359}{+} 8x \textcolor{#DA8359}{+} (-25) $$
Entonces, la expresión tiene tres términos, y éstos son: $$ \boxed{ 3x^2, \qquad 8x, \qquad \text{ y } \qquad -25.} $$
Ejemplo 2. Encuentra los términos de la siguiente expresión, $$ 4xy^3 - (25 \div y) + \frac{13}{z} $$
Primero, picamos la expresión donde tenga una suma o resta. $$ 4xy^3 \textcolor{#DA8359}{-} (25 \div y) \textcolor{#DA8359}{+} \frac{13}{z} $$
Vamos a re-escribir todo como suma. $$ 4xy^3 \textcolor{#DA8359}{+} [-(25 \div y)] \textcolor{#DA8359}{+} \frac{13}{z} $$
Entonces, los tres términos de la expresión son $$ \boxed{ 4xy^3, \qquad -(25 \div y), \qquad \text{ y } \qquad \frac{13}{z}.} $$
Podemos clasificar expresiones de acuerdo con cuántos términos tienen.
Un mononio es una expresión matemática que consiste de un solo término.
Un binonio es una expresión matemática con dos términos.
Un trinonio es una expresión matemática con tres términos.
Ejemplos de monomios son: $$ 4x^2, \qquad \frac{34}{x}, \qquad \frac{3 \cdot x \cdot y^2}{23 \cdot z^4} $$
Ejemplos de binomios son: $$ 4a^2 + 28b^2, \qquad 46x^2 - 12x, \qquad 83z - \frac{4}{3y} $$
Ejemplos de trinomios son: $$ 3y^3 - 25y^2 + 13, \qquad 4x^2 + (12 \cdot x) - 15 $$
Podemos simplificar una expresión algebraica combinando términos semejantes.
Dos (o más) términos son semejantes si tienen las mismas variables con los mismos exponentes.
Ejemplo 1. Los siguientes términos son semejantes:
$$ 4x, \qquad 38x, \qquad 9^2x $$Ejemplo 2. Ninguno de los siguientes términos son semejantes:
$$ 14, \qquad 6xy, \quad 15x^2y $$Ejemplo 3. Los siguientes términos son semejantes:
$$ \frac{1}{2}xy^2z^3, \qquad \sqrt{2}xy^2z^3, \qquad 9^2xy^2z^3 $$Para combinar términos semejantes, vamos a usar la propiedad distributiva:
$$ 7(x + y) = 7 \cdot x + 7 \cdot y $$Recordamos que también se puede escribir así:
$$ (a + b)13 = a \cdot 13 + b \cdot 13 $$También vamos a usar el hecho de que podemos sumar en cualquier orden:
$$ 3 + 2 = 2 + 3 $$Ejemplo. Simplifica esta expresión algebraica combinando términos semejantes.
$$ 3x^2 + 12y^2 - 15xy - 4x^2 + 5 xy $$Empezando por el primer término, ¿quién se puede combinar con x2?
Tenemos un otro término con x al cuadrado:
$$ \textcolor{#DA8359}{3x^2} + 12y^2 - 15xy \textcolor{#DA8359}{- 4x^2} + 5 xy $$No es necesario, pero podemos re-ordenar los términos.
$$ \textcolor{#DA8359}{3x^2 - 4x^2} + 12y^2 - 15xy + 5 xy $$Entonces, aplicamos la propiedad distributiva.
$$ \textcolor{#DA8359}{(3 - 4)x^2} + 12y^2 - 15xy + 5 xy $$Y simplificamos.
$$ \textcolor{#DA8359}{-x^2} + 12y^2 - 15xy + 5 xy $$Seguimos con el próximo término.
$$ -x^2 + \textcolor{#DA8359}{12y^2} - 15xy + 5 xy $$Pero solo hay un término con y al cuadrado. Asi que seguimos con el próximo.
$$ -x^2 + 12y^2 \textcolor{#DA8359}{- 15xy} + 5 xy $$Hay dos términos con xy.
$$ -x^2 + 12y^2 \textcolor{#DA8359}{- 15xy + 5 xy} $$Asi que aplicamos la propiedad distributiva.
$$ -x^2 + 12y^2 \textcolor{#DA8359}{(- 15 + 5)xy} $$Y simplificamos.
$$ -x^2 + 12y^2 \textcolor{#DA8359}{- 10xy} $$Por lo tanto, combinamos términos semejantes para hacer la siguiente simplificación:
$$ 3x^2 + 12y^2 - 15xy - 4x^2 + 5 xy $$ $$ \downarrow $$ $$ -x^2 + 12y^2 - 10xy $$Una expresión algebraica se puede evaluar si tenemos el valor de las variables en la expresión. Para evaluar una expresión algebraica, tenemos que sustituir la variables por sus valores numéricos y simplificar la expresión.
Ejemplo. Vamos a simplificar la expresión de abajo cuando c = 5. $$ c^2 + 4 c $$
Nos están dando el valor numérico de c. El primer paso es sustituir todas las instancias de la variable c por el número 5.
$$ \textcolor{#729170}{c}^2 + 4 \textcolor{#729170}{c} $$ $$ \textcolor{#729170}{(5)}^2 + 4 \textcolor{#729170}{(5)} $$Una vez sustituimos la variable, nos queda una expresión numérica:
$$ (5)^2 + 4 (5) $$Ahora, para simplificar la expresión, usamos PEMDAS. Como no hay paréntesis para simplificar, empezamos con el exponente.
$$ \textcolor{#729170}{(5)^2} + 4 (5) $$ $$ \textcolor{#729170}{(5 \cdot 5)} + 4 (5) $$ $$ \textcolor{#729170}{25} + 4 (5) $$Seguimos con las multiplicaciones y divisiones.
$$ 25 + \textcolor{#729170}{4 (5)} $$ $$ 25 + \textcolor{#729170}{20} $$Finalmente, hacemos las sumas y restas.
$$ 25 + 20 $$ $$ 45 $$Por lo tanto, la expresión $$ c^2 + 4 c$$ es equivalente a 45 cuando c = 5.