Una expresión exponencial es una expresión matemática que tiene una base y un exponente.
$$ \textcolor{#729170}{8}^{\textcolor{#DA8359}{3}} $$La base de una expresión exponencial es un número que se multiplica por sí mismo. El exponente es un número que nos dice cuántas veces se multiplica la base.
$$ \textcolor{#729170}{8}^{\textcolor{#DA8359}{3}} = \underbrace{\textcolor{#729170}{8} \times \textcolor{#729170}{8} \times \textcolor{#729170}{8}}_{\textcolor{#DA8359}{3} \text{ veces}} $$Una potencia de un número es el producto de ese número multiplicado por sí mismo.
$$ 8^{3} = 8 \times 8 \times 8 = \underbrace{512}_{\text{potencia de } 8} $$Ejemplo 1. Calcula:
$$ 7^2 $$En este caso, tenemos una expresión exponencial con base 7 y exponente 2. Eso significa que tenemos que multiplicar el 7 por sí mismo solamente dos veces. O sea,
$$ 7^2 = 7 \times 7 = 49 $$Ejemplo 2. Calcula:
$$ 5^4 $$En este caso, la base es 5 y el exponente es 4. O sea, que multiplicamos el 5 por sí mismo cuatro veces.
$$ 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 25 = 625 $$Ejemplo 3. Calcula:
$$ 1^7 $$Ahora tenemos al 1 como la base y al 7 como exponente. Entonces, multiplicamos el 1 por sí mismo siete veces.
$$ 1^7 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1 $$Potencia con exponente 0: Cualquier número con exponente 0 es 1.
$$ a^0 = 1 $$Una excepción a esta propiedad es cuando la base también es 0. Esta expresión no está definida:
$$ 0^0 = \text{indefinido} $$Potencia con exponente 1: Cualquier base con exponente 1 es igual a la base.
$$ a^1 = a $$Regla del producto: El producto de potencias con la misma base se calcula sumando los exponentes.
$$ a^n \times a^m = a^{n+m} $$Ejemplo 1. Calcula:
$$ 5^2 \times 5^3 $$Tenemos el producto de dos expresiones exponenciales. Las dos tienen base 5. Una tiene exponente 2 y la otra exponente 3.
$$ \begin{align*} 5^2 \times 5^3 &= (5 \times 5) \times (5 \times 5 \times 5) \\ &= \underbrace{5 \times 5}_{2} \times \underbrace{5 \times 5 \times 5}_{3} \\ &= \underbrace{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}_{2+3} \\ &= 5^{2+3} \\ &= 5^{5} \end{align*} $$Regla del cociente: La división de potencias con la misma base se calcula restando los exponentes.
$$ \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} $$Ejemplo 1. Calcula:
$$ \frac{3^4}{3^2} $$Tenemos el cociente de dos expresiones exponenciales. Las dos tienen base 3. Una tiene exponente 4 y la otra exponente 2.
$$ \begin{align*} \frac{3^4}{3^2} &= \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3} \\ &= \frac{\cancel{3} \times \cancel{3} \times 3 \times 3}{\cancel{3} \times \cancel{3}} \\ &= 3^{4 - 2} \\ &= 3^{2} \end{align*} $$Regla de potencias de un producto: La potencia de una potencia se calcula multiplicando los exponentes.
$$ \left(a^m\right)^{n} = a^{m \times n} $$Ejemplo 1. Calcula:
$$ \left(6^8 \right)^3 $$Tenemos una expresión exponencial donde la base es una expresión exponencial. Hay una base 6 con exponente 8. Y toda esta expresión tiene el exponente 3.
$$ \left(6^8 \right)^3 = 6^8 \times 6^8 \times 6^8 $$ Podemos aplicar aquí la regla del producto. $$ \left(6^8 \right)^3 = 6^8 \times 6^8 \times 6^8 = 6^{8+8+8} $$ Pero sumar 8 a sí mismo tres veces es lo mismo que multiplicar 8 por 3. $$ \left(6^8 \right)^3 = 6^8 \times 6^8 \times 6^8 = 6^{8+8+8} = 6^{3 \times 8} $$Calcula las siguientes expresiones.
$$ \def\arraystretch{2} \begin{align*} \frac{2^8}{2^6} &= \underline{\hspace{3cm}} \\ 340^0 &= \underline{\hspace{3cm}} \\ 5^1 \cdot 5^2 &= \underline{\hspace{3cm}} \\ x^1 &= \underline{\hspace{3cm}} \\ \left( 2^3 \right)^2 &= \underline{\hspace{3cm}} \\ \end{align*} $$Obtener la raíz cuadrada de un número es la operación opuesta a elevar al cuadrado.
Por ejemplo, sacar la raíz cuadrada de 16 es encontrar qué número tengo que elevar al cuadrado para que me dé 16.
$$ \sqrt{16} = \boxed{?} \quad \text{ es equivalente a } \quad \boxed{?}^2 = 16 $$ Visto de otra manera, las raíces cuadradas nos dan la misma información que las expresiones exponenciales. $$ \sqrt[2]{a} = b \quad \text{ es equivalente a } \quad b^2 = a $$