Un conjunto es una colección de objetos con una característica en común.
La costumbre es usar una letra mayúscula para nombrar un conjunto.
Ejemplo 1. El conjunto X es el conjunto de las vocales:
$$ X = \{ A, E, I, O, U \} $$Ejemplo 2. El conjunto Y es el conjunto de numeros pares menores que 10:
$$ Y = \{ 2, 4, 6, 8 \} $$Un elemento es un objecto que está en un conjunto.
Ejemplo 1. El día lunes es un elemento en el conjunto de los días de la semana.
$$ \begin{align*} \text{lunes} \in & \{ \text{lunes}, \text{martes}, \text{miércoles}, \\ & \quad \text{jueves}, \text{viernes}, \text{sábado}, \\ & \quad \text{domingo} \} \end{align*} $$Ejemplo 2. Si Y es el conjunto de todos los números pares, el número 5 no pertenece al conjunto Y.
$$ 5 \notin Y $$Un conjunto que está bien definido es un conjunto que tiene claro si un objecto está en él o nó.
En otras palabras, si nos dan un objecto y un conjunto bien definido, podemos determinar si el objecto pertenece al conjunto o nó.
Definimos los siguientes conjuntos:
$$ \begin{align*} H &= \{ a, e, i, o, u \} \\ X &= \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \\ Z &= \{ 2, 4, 6, 8, 10 \} \end{align*} $$Determina si cada objecto es un elemento en el conjunto.
Un conjunto puede ser finito o infinito. Un conjunto finito tiene una cantidad específica de elementos. Un conjunto infinito tiene un número ilimitado de elementos.
Ejemplo 1. El conjunto de los colores primarios es un conjunto finito. Tiene tres elementos y nada más.
$$ \{ \text{azul}, \text{amarillo}, \text{rojo} \} $$Ejemplo 2. El conjunto de números pares es un conjunto infinito. Siempre podemos encontrar otro elemento que pertenece al conjunto.
$$ \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... \} $$El conjunto nulo o vacío es un conjunto que no tiene elementos. Se denota:
$$ \emptyset = \{ \phantom{.} \} $$El conjunto A es subconjunto del conjunto B si todos los elementos de A también pertenecen a B. Se denota:
$$ A \subset B $$Ejemplo 1. Podemos definir los siguientes conjuntos: $$ A = \{ \text{todos los animales} \}, \\ M = \{ \text{todos los mamíferos} \} $$ Entonces, M es subconjunto de A. $$ M \subset A $$
Ejemplo 2. Podemos nombrar N al conjunto de todos los números naturales: $$ N = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... \} $$ Y nombraremos P al conjunto de todos los números pares: $$ P = \{ 2, 4, 6, 8, 10, ... \} $$ Entonces P es un subconjunto de N. $$ P \subset N $$
Dos conjuntos son iguales si ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos. (El orden de los elementos no importa.)
El universo de un conjunto A es cualquier conjunto que contenga todos los elementos de A. Se denomina U al conjunto universo.
Ejemplo 1. Podemos nombrar A al conjunto de todos los numeros pares.
$$ A = \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... \} $$Entonces, el universo del conjunto A puede ser el conjunto de todos los números.
$$ U = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... \} $$La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto con todos los elementos que están en A o están en B. Se denota:
$$ A \cup B $$La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto con todos los elementos que están en A y también están en B. Se denota:
$$ A \cap B $$La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto con todos los elementos que están en A y que no están en B. Se denota:
$$ A - B $$Ejemplo 1. Encuentra la unión de A y B.
$$ A \cup B $$La unión contiene cualquier elemento que esté en A ó que esté en B.
$$ A \cup B = \{ \underbrace{2, \, 4, \, 6, \, 8, \, 10,}_{A} \, \underbrace{1, \, 3, \, 5, \, 7, \, 9}_{B} \} $$Entonces, la unión de A y B es:
$$ A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} $$Ejemplo 2. Encuentra la intersección de A y C.
$$ A \cap C $$La intersección contiene todo elemento que esté en A y también en C. En otras palabras, solamente los elementos que estén en ambos conjuntos.
$$ A \cap C = \{ \textcolor{#DA8359}{2, 4, 6, 8, 10} \} \cap \{ 1, \textcolor{#DA8359}{2}, 3, \textcolor{#DA8359}{4}, 5, \textcolor{#DA8359}{6}, 7, \textcolor{#DA8359}{8}, 9, \textcolor{#DA8359}{10} \} $$Entonces, la intersección de A y C es:
$$ A \cap C = \{ 2, 4, 6, 8, 10 \} $$Ejemplo 3. Encuentra la diferencia de B y C.
$$ B - C $$La diferencia contiene todos los elementos que pertenezcan en B y que no pertenezcan a C. Vamos a tachar todo elemento de B que esté en el conjunto C.
$$ B - C = \{ \cancel{1}, \cancel{3}, \cancel{5}, \cancel{7}, \cancel{9} \} - \{ \cancel{1}, 2, \cancel{3}, 4, \cancel{5}, 6, \cancel{7}, 8, \cancel{9}, 10 \} $$Entonces, como no sobrevivió ningún elemento en B, la diferencia de B y C es el conjunto vacío:
$$ B - C = \emptyset $$Definimos los siguientes conjuntos:
$$ \def\arraystretch{1.5} \begin{align*} F &= \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \\ G &= \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \\ \end{align*} $$Determina qué elemento está en cada conjunto.
$$ \def\arraystretch{1.5} \begin{align*} F \cup G &= \underline{\hspace{3cm}} \\ F - G &= \underline{\hspace{3cm}} \\ G - F &= \underline{\hspace{3cm}} \\ F \cap G &= \underline{\hspace{3cm}} \\ \end{align*} $$